テストパイロットのニール・アームストロングは、幼い娘カレンを病で亡くしてしまう。その悲しみから逃げるようにNASAのジェミニ計画に応募したニールは宇宙飛行士に選ばれ、妻と息子を連れヒューストンへ移る。ニールたちは有人宇宙センターで過酷な訓練を重ねるが、仲間のパイロットたちが訓練中の事故で命を落としてしまう。NASAの責任を問う声が高まる中、ニールは月面着陸を目指すアポロ11号の船長に任命される。